Black Scholes 옵션 평가 방정식 구현 - 파이썬

주식 시장 중 파생 시장이 존재한다. 그 중 옵션 가격에 대해서 접근하는 블랙 숄즈 옵션 평가 방정식이 존재한다.

 

옵션이란 일종의 권리이다.

콜옵션이라는 가정 하에 현재가에서 행사가를 차감한 것이 옵션의 (적절한)가격이 된다. 예를 들어 원래의 현재가가 2000원이라는 가정 하에 행사가가 1900원이라면 가격이 100원이 된다.

 

물론 여기서 남은 시간에 대한 프리미엄이 존재한다. 만약 현재가가 2000원인데 옵션 행사가가 2300원이라면 아무 의미가 없게 된다. 하지만 해당 주식이 급상승 중인 상황에서 만기 일자가 얼마 남지 않았다면 변동성이 생길 것으로 예상되고 현재가가 2300원이 될 확률도 존재할 것이다. 이러한 기대감으로 이러한 옵션은 0원보다 높은 가격에서 거래되게 되며 이를 프리미엄이라 한다.

 

그렇다면 우리가 위의 예시를 통하여 알 수 있는 점은 블랙숄즈 모형을 통하여 옵션의 가격에 대해서 접근이 가능한데 이는 시간에 대한 가격에 예측에 의존한다는 것을 알 수 있다. (가격 예측(예상) => 현재가)

 

물론 블랙숄즈 모형은 시장이 효율적이며 확률분포 등의 가정이 정확해야 한다는 가정이 있지만 어쨌든 그렇다.

 

정리하자면 원리는 단순하다. 주식의 수익률이 정규분포를 따른다 가정하자. 이때 옵션의 기대값은 콜옵션의 가치 * 주식의 @@원이 될 확률 이렇게 된다. 정규분포를 쓰기 때문에 주식이 만기에 어떤 가격이 될지 모든 가격마다 확률 계산이 가능한데 이를 적분하면 된다.

 

모든 경우의 수에 대한 적분한 결과를 모형으로 한다.

 

구현은 아래와 같다.

import math as math
from scipy.stats import norm
'''r = 0 # t-bill risk free interest rate
v = 0 # option price
s = 0 # 기초자산가격
k = 0 # 행사 가격
T = 0 # 만기 시점
t = 0 # 현재 시점
T-t # 잔존 만기
sigma = 0 # 기초 자산 변동성'''
# r = risk free interest rate => t - bill (United States Treasury securitie)
# 미국의 재무부 증권 - 어떤 금리를 고를 지는 만기일자에 맞게 고르면 될 것으로 예상됨.
def black_shores_call(s,d_1,k,r,T,t,d_2):
  call = s * norm.cdf(d_1) - k * math.exp(-r * (T-t)) * norm.cdf(d_2)
  return call

def black_shores_put(k,r,T,t,d_2,d_1,s):
  put = k * math.exp(-r * (T-t)) * norm.cdf(-d_2) - s * norm.cdf(-d_1)
  return put

def get_d1(s,k,r,sigma, T, t):
  d1 = (math.log(s/k) + (r + (sigma ** 2) / 2) * T) / sigma * math.sqrt(T-t)
  return d1

def get_d2(d_1, sigma, T, t):
  d2 = d_1 - sigma * math.sqrt(T-t)
  return d2

def get_delta_put(d1):
  # delta가 0.5라면, 기초자산이 1% 움직일 때, 옵션의 가격은 0.5% 변동한다는 의미
  # 콜 옵션 매수 포지션의 경우 0 ~ 1 사이의 값으로 나타냄, 내가격 (ITM)일수록 1에 가깝고
  # 외가격 (OTM)일수록 0에 가까운 델타값을 가지게 된다.
  # 내가격이란, 시장가격 > 행사가격 -> 권리 포기
  # 외가격이란, 시장가격 < 행사가격 -> 권리 사용
  # 행사 가능성이 높을수록 기초 자산 가격변동에 옵션 가격이 민감하게 움직이고
  # 행사 가능성이 낮을수록 기초 자산과 옵션 가격의 correlation이 낮다는 말이 됨
  return norm.cdf(d1) - 1

def get_delta_call(d1):
  return norm.cdf(d1)

def get_gamma(s,d_1,sigma,T,t):
  # 기초 자산 가격의 변동 대비 델타의 변동을 나타냄
  # 기초 자산의 가격과 델타와의 상관관계를 나타냄
  return (norm.pdf(d_1) / (s * sigma * math.sqrt(T-t)))

def get_setta_call(s,d_1,sigma,T,t,r,k,d_2):
  # 시간에 따른 옵션가격의 변동률을 나타냄
  # 블랙 숄즈 방정식을 t(시간)으로 편미분하여 세타 구함
  # t가 0에 가까울수록, 만기가 가까워질수록 세타는 가파르게 떨어짐
  setta_call = -(s * norm.pdf(d_1) * sigma) / (2 * math.sqrt(T-t)) - r * k * math.exp(-r*(T-t)*norm.cdf(d_2))
  return setta_call

def get_setta_put(s, d_1, sigma, T, t, r, k, d_2):
  setta_put = -(s * norm.pdf(d_1) * sigma) / (2 * math.sqrt(T-t)) + r * k * math.exp(-r*(T-t))*(norm.cdf(-d_2))
  return setta_put

def get_vega(s,T,t,d_1):
  # 기초 자산의 변동성의 변화 대비 옵션가격의 변동률을 나타냄
  # 베가는 변동성이 낮을수록 옵션가격의 민감도가 높음
  vega = s*math.sqrt(T-t)*(norm.pdf(d_1))
  return vega

def get_rho_call(k,T,r,t,d_2):
  # 이자율의 변동 대비 옵션 가격의 변동률을 나타내줌
  rho_call = k*T*math.exp(-r*(T-t))*norm.cdf(d_2)
  return rho_call

def get_rho_put(k,T,r,t,d_2):
  # 이자율의 변동은 자주 일어나는 일은 아니어서 실제 트레이딩에서는 거의 사용 x이지만,
  # 알아두는 것 중요
  rho_put = -k * T * math.exp(-r*(T-t))*norm.cdf(-d_2)
  return rho_put